Допуская, что случайная величина х ар имеет нормальное распределение с параметрами М[х ар ] и D, находим приближенно вероятность того, что оценка х ар отклоняется от своего математического ожидания менее чем на s.

где Ф 0 (х) - нормированная функция Лапласа, о которой уже говорилось в главе 2. Для нее составлены таблицы (см. приложение 5).

Используем данные рассматриваемого нами примера и оценим точность и надежность х ар. Для нашего примера имеем: х ар = 90; D x = 57,5; д х = 7,6. Найдем вероятность того, что, полагая М[Х] * х ар, не совершим ошибки более чем е - 3.

По формулам (6.60)-(6.62) получили:

По таблице приложения 5 находим Ф о (1,765) = 0,46164, т. е. вероятность того, что ошибки от замены М[Х] на х ар не превысит 3 приближенно равна 0,92 (92%). Эту вероятность можно считать достаточной.

Доказывается, что при п > 20 оценка D x независимо от распределения случайной величины X приближенно распределена по нормальному закону с параметрами:

Заменяя в формулах (6.64)-(6.66) D[X] ее статистической оценкой D x получим:

Используя данные примера, по формулам (6.67)и (6.69) получим:

Теперь по формуле (6.63) находим вероятность того, что оценка D x отклонится от своего истинного значения D[X] меньше чем на е = 3.

По таблице приложения 5 находим ФД0Д6) = 0,06356, т. е. вероятность того что оценка от замены D[X] на D x будет менее 3 равна 0,13 (13%), что явно недостаточно. У нас всего 20 наблюдений, а формулы (6.64)-(6.66) работают при п > 20.

Мы уже говорили, что наш пример учебный. В реальных задачах данных значительно больше, поэтому и вероятность, полученная по формуле (6.63), будет значительно выше.

Полученная нами гистограмма (см. рис. 6.2.) - это графическое изображение нашего распределения. Но пользоваться гистограммой при дальнейших исследованиях неудобно. Поэтому ставиться вопрос о том, как подобрать для данного конкретного распределения аналитическую зависимость (формулу), которая выражала бы лишь существенные черты нашего распределения. Данную задачу называют, выравниваем статистических распределений. Обычно выравнивают гистограммы, т. е. заменяют ее некоторой теоретической кривой, имеющей определенное аналитическое выражение. А затем это выражение принимают за плотность распределения /(х).

В рассматриваемом примере мы выравниваем построенную нами гистограмму по нормальному закону с параметрами х ар = 90; а х = 7,6, т. е. в выражении для плотности нормального распределения

Заменяем М[Х] и а[Х] их оценками и получаем

В качестве значений х берем границы интервалов в нашем группированном ряду, подставляем их в формулу (6.70) и получаем:

Полученные данные наносим на рис 6.2 и получаем плавную кривую.

Теперь проверим гипотезу Н о о нормальном законе распределения с плотностью f(x). Гипотезе Н о противопоставляется альтернативная гипотеза Н 1 которая говорит о том, что случайная величина X не подчиняется нормальному закону с параметрами х ар = 90; а х = 7,6.

Для того чтобы сделать вывод о том, согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой нами гипотезой, применяют критерий согласия. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о законе распределения. Он применяется для проверки согласия предполагаемого вида закона распределения с опытными данными.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Фишера, Колмогорова и др.

При проверке гипотез могут допускаться ошибки двух видов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная нулевая гипотеза Н о; ошибка второго рода - в том, что отвергается верная альтернативная гипотеза Н г

Вероятность ошибки первого рода (а) называется уровнем значимости критерия. Чем меньше а, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу Н о Допустимую а обычно задают заранее. Как правило, применяют стандартные значения а = 0,01; 0,05; 0,1.

Вероятность ошибки второго рода обозначают через р. Величину (1 - р) - вероятность недопущения ошибки второго рода (принять верную гипотезу и отвергнуть неверную гипотезу Н 0) - называют мощностью критерия.

Сначала используем для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий Пирсона (х 2)- Приведем краткие теоретические сведения. Предположим, что проведено п опытов в каждом из которых случайная величина X приняла определенное значение, т. е. х 1 х 2 ....., х к (к - число возможных значений

случайной величины X). В результате получаем статистический ряд распределения (табл. 6.6).

Таблица 6.6

где - соответствующие вероятности.

Считаем, что отклонения / от Р имеют случайные причины. Для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы надо выбрать какую-то меру расхождения между статистическими и теоретическими распределениями.

В качестве такой меры расхождения при использовании критерия Пирсона берется сумма квадратов отклонений (/. - Р.), взятых с некоторыми весами С { , т. е.

Веса С. вводят, так как отклонения, относящиеся к разным значениям Р., нельзя считать равноправными по значимости.

Пирсон доказал, что если взять

то при большом числе опытов п закон распределения величины R a обладает следующими свойствами: он практически не зависит от закона распределения случайной величины X, мало зависит от числа опытов п, зависит только от количества значений случайной величины Х(к) и при п -> оо приближается к распределению х 2 Поэтому меру расхождения в данном случае обозначают % 2 , т. е.

Вводим п под знак суммы, учитывая, что, и после

преобразований получаем

Распределение х 2 зависит от параметра называемого числом степеней свободы (г с), который определяется следующим образом:

где S e -- количество независимых условий, которые наложены на относительные частоты. Для нашего примера S e = 3. Мы потребовали, чтобы выполнялись условия:

Для распределения % 2 составлены таблицы (см. приложение 6). Для нашего примера проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Вернемся к табл. 6.5, где осталась одна незаполненная графа (Р.) - это теоретические вероятности попадания в интервал случайной величины X, имеющей нормальное распределение с параметрами х ар = 90; а х = 7,6.

Для их нахождения используем формулу (2.44). Получаем:

где Ф о (х) - нормированная функция Лапласа, для которой, как мы уже говорили, составлены таблицы (см. приложение 5).

Полученные значения вероятностей занесем в табл. 6.5. Далее по формуле (6.74) получим:

Число степеней свободы в нашем случае равно г, = 6 - 3 = 3. Уровень значимости принимаем равным 0,1, т. е. а = 0,1. По таблице распределения х 2 (см. приложение 6) по уровню значимости а = 0,1 и по числу степеней свободы г = 3 находим %т = 6,25.

Так как Хт > Х Р, то гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений и ее можно принять с уровнем значимости 0,1. Если под рукой нет таблицы распределения х 2 , для оценки случайности расхождения /. от Р. можно использовать критерий Романовского

Если соотношение (6.76) меньше трех, то расхождение между фактическим и теоретическим распределениями носит случайный характер, а в противном случае они существенны.

Для данных примера имеем , поэтому гипотезу о нормальном распределении тоже можно принять.

Теперь применим для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий согласия Колмогорова.

Критерий Колмогорова основан на нахождении максимального расхождения между накопленными частотами или относительными частотами экспериментального распределения и вероятностями теоретического распределения. Он определяется по формулам:

если пользоваться накопленными относительными частотами;

если пользоваться накопленными частотами, где d M - максимальная величина расхождений между накопленными относительными частотами и вероятностями;

D M - максимальная разность между реальными и теоретическими частотами.

Будем использовать формулу (6.77), и необходимые данные разместим в табл. 6.8.

Из табл. 6.8 следует, что, поэтому по формуле

(6.75) получаем

Таблица 6.8

Затем по таблицам Р() (см. приложение 8) находим Р(Х к) = 1. Поэтому можно полагать, что расхождения между относительными частотами и теоретическими вероятностями носят случайный характер, а, следовательно, гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений.

В заключение еще раз повторим, что наш пример носит учебный характер. Надо иметь в виду, что при использовании критерия Пирсона количество наблюдений должно быть не менее нескольких десятков, в каждом разряде должно быть не менее пяти наблюдений, а количество разрядов должно быть примерно 10-15.

Вопросы для самопроверки

• 1. Какие виды средних величин применяют в статистике?
• 2. Как определяются средняя гармоническая простая и взвешенная?
• 3. Как определяются средняя геометрическая простая и взвешенная?
• 4. Как определяется средняя арифметическая простая и взвешенная?
• 5. Как вычисляются средняя квадратическая и средняя кубическая?
• 6. Какие показатели вариации вы знаете?
• 7. Что представляют собой размах вариации и среднее линейное отклонение? По каким формулам они вычисляются?
• 8. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? По каким формулам они вычисляются?
• 9. По какой формуле находится дисперсия качественного признака?
• 10. Что представляет собой коэффициент вариации? Каково его значение для экономического анализа?
• 11. Что представляет собой правило сложения дисперсии?
• 12. Что представляют собой асимметрия и эксцесс, и по каким формулам они находятся?

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax – Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

– абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f– частота.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации – дисперсию.

Дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков – среднее линейное и среднее квадртическое отклонение – не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Тема 6. Виды и методы анализа рядов динамики

1. Ряды динамики. Виды рядов динамики.
2. Основные показатели рядов динамики
3. Средние показатели рядов динамики

1. Явления общественной жизни, изучаемые социально-экономической статистикой, находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени – от месяца к месяцу, от года к году – изменяются численность населения и его состав, объем производимой продукции, уровень производительности труда и т. д., поэтому одной из важнейших задач статистики является изучение изменения общественных явлений во времени – процесса их развития, их динамики. Эту задачу статистика решает путем построения и анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (хронологический, динамический, временной ряд) – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Ряд включает два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя (уровень ряда).

Каждое числовое значение показателя, характеризующее величину, размер явления, называется уровнем ряда. Кроме уровней каждый ряд динамики содержит указания о тех моментах либо периодах времени, к которым относятся уровни.

При подведении итогов статистического наблюдения получают абсолютные показатели двух видов. Одни из них характеризуют состояние явления на определенный момент времени: наличие на этот момент каких-либо единиц совокупности или наличие того или иного объема признака. К таким показателям относится численность населения, парк автомобилей, жилищный фонд, товарные запасы и т. д. Величину таких показателей можно определить непосредственно только по состоянию на тот или иной момент времени, а потому эти показатели и соответствующие ряды динамики и называются моментными.

Другие показатели характеризуют итоги какого-либо процесса за определенный период (интервал) времени (сутки, месяц, квартал, год и т. п.). Такими показателями являются, например, число родившихся, количество произведенной продукции, ввод в действие жилых домов, фонд заработной платы и др. Величину этих показателей можно подсчитать только за какой-нибудь интервал (период) времени, поэтому такие показатели и ряды их значений называются интервальными.

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней, поэтому в интервальном ряду динамики уровни за примыкающие друг к другу периоды времени можно суммировать, получая итоги (уровни) за более продолжительные периоды (так, суммируя месячные уровни, получим квартальные, суммируя квартальные, получим годовые, суммируя годовые – многолетние).

В моментном динамическом ряду одни и те же единицы совокупности обычно входят в состав нескольких уровней, поэтому суммирование уровней моментного ряда динамики само по себе не имеет смысла, так как получающиеся при этом итоги лишены самостоятельной экономической значимости.

При построении и перед анализом ряда динамики нужно прежде всего обратить внимание на то, чтобы уровни ряда были сопоставимы между собой, так как только в этом случае динамический ряд будет правильно отражать процесс развития явления. Сопоставимость уровней ряда динамики – это важнейшее условие обоснованности и правильности выводов, полученных в результате анализа этого ряда. При построении динамического ряда надо иметь в виду, что ряд может охватывать большой период времени, в течение которого могли произойти изменения, нарушающие сопоставимость (территориальные изменения, изменения круга охвата объектов, методологии расчетов и т. д.).

При изучении динамики общественных явлений статистика решает следующие задачи:

Измеряет абсолютную и относительную скорость роста либо снижения уровня за отдельные промежутки времени;

Дает обобщающие характеристики уровня и скорости его изменения за тот или иной период;

Выявляет и численно характеризует основные тенденции развития явлений на отдельных этапах;

Дает сравнительную числовую характеристику развития данного явления в разных регионах или на разных этапах;

Выявляет факторы, обусловливающие изменение изучаемого явления во времени;

Делает прогнозы развития явления в будущем.

2 . Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При этом уровень, с которым производится сравнение, называется базисным, так как он является базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда.

Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными.

Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, который будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор этой базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался).

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни:

где уi – уровень i-го года; yi-1 – уровень предшествующего года; y0 – уровень базисного года.

Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период.

Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Темп роста (Тр) – статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному:

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь соответствующий период.

Темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %.

При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины – уровни и абсолютные приросты – скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать.

В связи с этим важно изучать еще один показатель динамики – абсолютное значение (содержание) 1 % прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

3. С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития, поэтому для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей и решения других задач анализа используются средние показатели временного ряда – средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.

При вычислении средних показателей динамики необходимо иметь в виду, что к этим средним показателям полностью относятся общие положения теории средних величин. Это означает прежде всего, что динамическая средняя будет типичной, если она характеризует период с однородными, более или менее стабильными условиями развития явления. Выделение таких периодов – этапов развития – в определенном отношении аналогично группировке. Если же динамическая средняя величина исчислена за период, в течение которого условия развития явления существенно менялись, т. е. период, охватывающий разные этапы развития явления, то такой средней величиной нужно пользоваться с большой осторожностью, дополняя ее средними величинами за отдельные этапы.

Наиболее просто вычисляется средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями. Расчет производится по формуле простой средней арифметической:

где n – число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени.

Для моментного ряда с разностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т. д.). Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня и всегда является интервальным показателем. Он вычисляется путем деления общего прироста за весь период на длину этого периода в тех или иных единицах времени:

Расчет среднего абсолютного цепного прироста:

Расчет среднего абсолютного базисного прироста:

где – цепные абсолютные приросты за последовательные промежутки времени; n – число цепных приростов; У0 – уровень базисного периода.

Средний темп роста, выраженный в форме коэффициента, показывает, во сколько раз увеличивается уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т. п.).

Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, которая имеет место между обычными темпами роста и прироста:

Средний темп прироста (или снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т. п.). Средний темп прироста характеризует среднюю интенсивность роста, т. е. среднюю относительную скорость изменения уровня.

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Абсолютные показатели:
размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака: .

Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейшим показателем такого типа является среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ()).

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных:

,

где n – число членов ряда; для сгруппированных данных:

,

где — сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных).

Простая дисперсия для несгруппированных данных:

;

взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

.

Дисперсия обладает определенными свойствами, два из которых:

1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз).

То дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, можно получить формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

,

где -дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i – величина интервала;

– новые (преобразованные) значения вариантов (А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

— момент второго порядка;

— квадрат момента первого порядка.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии: для несгруппированных данных:

,

для вариационного ряда:

.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Относительные показатели:
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

Также коэффициент вариации используется как характеристика однородности совокупности. Если , то колеблемость незначительная, если , то колеблемость умеренная-средняя, если , то колеблемость значительная, если , то совокупность однородная.

Коэффициент осцилляции:

.

Относительное линейное отклонение:

.

Вариация признаков обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значение признака х от общей средней величины и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней :

,

где f – численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировка. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы x i (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия

или как взвешенная дисперсия .

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий: .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации — показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации: .

Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии , т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Задание 2. Относительные показатели

Вариант 10. Имеются следующие данные о численности населения за 1999 г. и территории по двум странам:

Определить:

Плотность населения по обеим странам.


Относительный показатель сравнения по численности населения.


Решение


Плотность населения рассчитывается как относительный показатель интенсивности (ОПИ), характеризующий степень распространения или уровень развития того или иного явления в определенной среде. Он рассчитывается как отношение показателя, характеризующего явление, к показателю, характеризующему среду распространения явления.


ОПИ Молдова =чел/км 2 . Т.е. плотность населения Молдавы 31,15 человека на 1 км 2 .


ОПИ Азербайджан =чел/км 2 . Т.е. плотность населения Украины 82,33 человека на 1 км 2 .


ОПСр=. Т.е. территория Украины в 20,708 раза (или на 1970%) больше территории Молдавии.


Задание 3. Средние показатели


Вариант 10. Имеются следующие данные о распределении численности безработных женщин, зарегистрированных службами занятости, по возрастным группам на конец 1999 г. (тыс.чел.):


Возраст	менее 20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50 и старше
Численность безработных	12,7	11,3

Найти среднее значение возраста зарегистрированной безработной.


Решение


Для того, чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала перейти к условному дискретному ряду из средних значений интервалов. Если имеются интервалы без указания нижней границы или верхней границы (50 и старше), то соответствующее значение устанавливают таким образом, чтобы получился ряд с равновеликими интервалами. В данном случае условный дискретный ряд имеет вид:


Возраст	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5
Численность населения	12,7	11,3


,


где x i – i -тое значение признака,


n i – частота x i , k – число различных значений признака в совокупности.


. Т.е. среднее значение возраста 35,0 лет.


Задание 4. Ряды динамики


Вариант 10. Имеются следующие данные о динамике среднегодовой численности населения Украины (млн. чел.):


Годы	1995	1996	1997	1998	1999
Численность населения	51,3	50,9	50,4	50,0	49,7

Определить:


Абсолютные приросты (цепные и базисные).


Средний абсолютный прирост.


Темпы роста (цепные и базисные).


Темпы прироста (цепные и базисные).


Абсолютное значение 1% прироста.


1. Среднегодовой темп роста.
   

   Решение
   

   Абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между данным уровнем и предыдущим (цепной) или первоначальным (базисный).
   

   Для динамического ряда , состоящего из n+1 уровней, абсолютный прирост определяется таким образом:
   

   цепной , где – текущий уровень ряда, –уровень, предшествующий .	базисный , где – текущий уровень ряда, – начальный уровень ряда.
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)
   (млн.чел.)	(млн.чел.)

   Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле
   

   ,
   

   где – конечный уровень ряда.
   

   Т. е. среднегодовая численность населения Украины за данный период времени снижалась в среднем на 0,4 млн. человек в год.
   

   Темпом роста называется отношение данного уровня явления к предыдущему (цепной) или начальному (базисный) уровню, выраженное в процентах. Темпы роста вычисляются по формулам:
   

   цепной .	базисный .

   Темпом прироста называется отношение абсолютного прироста к предыдущему (цепной) или начальному (базисный) уровню, выраженное в процентах. Темпы прироста вычисляются по формулам:
   

   цепной .